DEFINICIÓN DE ESTOCASTICA

Estocástico
Se denomina estocástico a aquel sistema que funciona, sobre todo, por el azar. Las leyes conocidas de causa-efecto no explican cómo actúa el sistema (y de modo reducido el fenómeno) de manera determinista, sino en función de probabilidades.
En Investigación de operaciones, Modelos Probabilísticos y Estocásticos son practicamente lo mismo.
El estocástico es un algoritmo que basa su resultado en probabilidades que cambian en el tiempo, diferenciándose con el algoritmo probabilístico por su comportamiento dinámico.
De tal modo que, en matemáticas la estocástica resulta ser un conjunto de teorías estadísticas que tratan de los procesos cuya evolución es aleatoria (un ejemplo de ellos son las tiradas de dados).
Repaso previo de conceptos:
Teoría de Conjuntos
Un conjunto es como una "bolsa" que contiene elementos. Así, podemos decir que "El conjunto A contiene los elementos x,y y z".
Un multiconjunto es un conjunto en el que se asignan cardinalidades a los elementos. Así, podemos decir "El conjunto A contiene 3 copias de x, 27 copias de y y 13 copias de z".
Los multiconjuntos típicos son sobre N, pero nada me impide declarar multiconjuntos sobre R. Un multiconjunto sobre R seria algo como "A contiene 13.7x, 2.89y y 4.01z"
Los multiconjuntos sobre R describen bien sistemas biológicos. "En el tubo de ensayo A tengo 13.7 microgramos por litro de x".
Estadística
Un sistema estocástico funciona según leyes probabilísticas, no deterministas.
Un proceso estocástico es un sistema estocástico que depende del tiempo.
Claramente, los sistemas biológicos son procesos estocásticos.
Los sistemas biológicos no son procesos de Poisson porque al ser multiconjuntos un suceso puede ocurrir mas de una vez en un intervalo de tiempo infinitesimálmente pequeño. Quiero decir que al haber N copias de una enzima y N copias de una cadena de ADN un suceso como "la enzima digiere la cadena" puede ocurrir (y ocurrirá) muchas veces a la vez.
Los sistemas biológicos no son procesos de Markov porque no sólo dependen del suceso inmediatamente anterior.
Sistemas P
Un sistema P es una jerarquía de espacios delimitados por membranas. Es una jerarquía estricta que se puede representar como un árbol. A la membrana mas externa se le llama piel y a las mas internas se les llama membranas elementales.
En el interior de cada membrana se aplican una serie de reglas. El conjunto de reglas puede ser distinto en cada membrana.
Las reglas pueden ser tan complejas como se quiera; pueden incluir habilitadores (Si P entonces Q) e inhibidores (Si P y no Q entonces R)
Los sistemas P se encuadran en la biología de sistemas.

Proceso estocástico
En Matemáticas y en concreto en Estadística y Teoría de la Probabilidad un proceso aleatorio o proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar y estudiar todo tipo fenómenos aleatorios (estocásticos) que evolucionan, generalmente, con el tiempo.
Una definición informal sería la siguiente: Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias indexadas por una variable (continua o discreta), generalmente, el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.
Ejemplos
Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales:
Señales de telecomunicación
Señales biomédicas (electrocardiograma, encefalograma, etc...)
Señales sísmicas
El número de manchas solares año tras año
El índice de la bolsa segundo a segundo
La evolución de la población de un municipio año tras año
El tiempo de espera en cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla
El clima es un gigantesco cúmulo de procesos estocásticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, temperatura, etc) que evolucionan en el espacio y en el tiempo.
Definición matemática
Un proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes:
Como un conjunto de variables aleatorias Xk indexadas por un índice k, que puede ser continuo o discreto
Como un conjunto de realizaciones temporales y un índice aleatorio que selecciona una de ellas.
Las variables aleatorias Xk toman valores en un conjunto que se denomina espacio de estados.
Casos especiales
Proceso homogéneo
Proceso estacionario: Un proceso es estacionario en sentido estricto si la función de distribución conjunta de cualquier subconjunto de variables es invariante respecto a un desplazamiento en el tiempo. Se dice que un proceso es estacionario en sentido amplio (o débilmente estacionario) cuando se verifica que 1. La media teórica es independiente del tiempo y 2. Las autocovarianzas de orden s sólo vienen afectadas por el lapso de tiempo transcurrido entre los dos periodos y no depende del tiempo.
Proceso de Markov: Aquellos en que la evolución sólo depende del estado actual y no de los anteriores.
Proceso de Gauss: En el que toda combinación lineal de variables es una variable de distribución normal.
Proceso de Poisson
Proceso de Gauss-Markov: Son procesos, al mismo tiempo, de Gauss y de Markov
Proceso de Bernoulli